Question

【题目】如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝3，∠B＝30°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝30°，DE交线段AC于点E.

（1）D点运动到图1位置时，∠BDA＝75°，则∠EDC＝______，∠DEC＝________；

（2）D点运动到图2位置时，当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；

（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在变化，判断当△ADE是等腰三角形时，∠BDA等于多少度（请直接写出结果）.

Answer 1

【答案】（1）75°，75°；（2）DC=3，理由见解析；（3）当△ADE是等腰三角形时，∠BDA度数为105°或60°.

【解析】

（1）根据三角形内角和与三角形外角等于与其不相邻两内角的和的关系进行求解即可；

（2）根据全等三角形的性质及判定定理综合运用求解即可；

（3）根据△ADE是等腰三角形，分①当AD=AE，②DA=DE，③EA=ED三种情况进行讨论即可.

（1）∵∠BDA=75°，

∴∠ADC=105°，

又∵∠ADE=30°，

∴∠EDC=75°，

∵△ABC是等腰三角形，

∴∠C=∠B=30°，

∴∠DEC=75°，

所以答案为75°，75°；

（2）当DC=3时，△ABD≌△DCE，

∵AB=AC=3，∠B=30°，

∴∠C=30°，

∵CD=CA=3，

∴∠CAD=∠CDA=75°，

∴∠ADB=105°，∠EDC=45°，

∴∠DEC=105°，

∴∠ADB=∠DEC,

在△ABD与△DCE中，

∵∠ADB=∠DEC，AB=DC，∠B=∠C，

∴△ABD≌△DCE；

（3）①当AD=AE时，∠ADE=30°，

∴∠AED=∠ADE=30°，∠DAE=120°，

∵∠BAC=120°，D不与B、C重合，

∴AD≠AE；

②当DA=DE时，∠ADE=30°，

∴∠DAE=∠DEA=75°，

∴∠BDA=∠DEC=180°-∠AED=105°；

③当EA=ED时，∠ADE=30°，

∴∠EAD=∠EDA=30°，

∴∠AED=180°-∠EAD-∠EDA=120°，

∴∠BDA=∠DEC=60°.

综上所述，当△ADE是等腰三角形时，∠BDA度数为105°或60°.