Question

【题目】平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴正半轴、y轴正半轴上，AO=BO，△ABO的面积为8.

（1）求点A的坐标；

（2）点C、D分别在x轴负半轴、y轴正半轴上（D在B点上方），AB⊥CD于E，设点D纵坐标为t，△BCE的面积为S，求S与t的函数关系；

（3）在（2）的条件下，点F为BE中点，连接OF交BC于G，当∠FOB+∠DAE=45°时，求点E坐标.

Answer 1

【答案】（1）A（4，0）；（2）；（3）

【解析】

（1）利用三角形的面积公式构建方程即可解决问题．

（2）证明△CEA和△COD是等腰直角三角形，由EN⊥AC，推出，AC=4+t，根据S=S△AEC-S△ABC计算即可．

（3）过点F作FM⊥AC于点M，由（2）求出点F的坐标为，从而得到

，，由∠ABO=∠BDA+∠BAD=45°，∠FOB+∠DAE=45°，得出∠FOB=∠BDA，进而得出∠MFO=∠ODA，tan∠MFO =tan∠ODA，故而，

即，解出t的值，再求点E的坐标即可.

（1）由题意可得：，

∴OA2=16，

∵OA＞0，

∴OA=OB=4，

∴A（4，0），B（0，4）．

（2）如图，过点E作EN⊥AC于点N．

∵∠AOB=90°，OA=OB，

∴∠OAB=45°，

∵AB⊥CD，

∴∠CEA=90°，

∴∠ECA=45°，

∴△CEA是等腰直角三角形，

∵∠ECA=45°，∠COD=90°，

∴∠CDO=45°，

∴△CDO是等腰直角三角形.

∵点D纵坐标为t，

∴CO=DO=t.

∵OA=OB=4,

∴AC=t+4.

∴，

∴；

∴S与t的函数关系是：.

（3）如图，过点F作FM⊥AC于点M，

由（2）可知，，

∴，

∴点E的坐标为，

∵点B（0,4），点F为BE中点，

∴点F的坐标为，

∴，，

∵∠ABO=∠BDA+∠BAD=45°，∠FOB+∠DAE=45°，

∴∠FOB=∠BDA，

∴OF∥AD，

∵FM⊥AC，

∴FM∥DO，

∴∠MFO=∠ODA，

∴tan∠MFO =tan∠ODA，

∴，

即，

解得t=12或4=-4（不合题意，舍去）

∴点E的坐标为.