Question

【题目】如图，AB为⊙O直径，BC为⊙O切线，连接A、C两点，交⊙O于点D，BE=CE，连接DE，OE．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）求证：BC2=CD2OE；
（3）若cos∠BAD= ，BE=6，求OE的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：连接BD、OD，如图，

∵AB为圆O的直径，

∴∠ADB=90°，

在Rt△BDC中，E∵为斜边BC的中点，

∴CE=DE=BE= BC，

∴∠C=∠CDE，

∵OA=OD，

∴∠A=∠ADO，

∵∠ABC=90°，

∴∠C+∠A=90°，

∴∠ADO+∠CDE=90°，

∴∠ODE=90°，

∴DE⊥OD，又OD为圆的半径，

∴DE为⊙O的切线

（2）证明：∵E是BC的中点，O点是AB的中点，

∴OE是△ABC的中位线，

∴AC=2OE，

∵∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，

∴△ABC∽△BDC，

∴BC：CD=AC：BC，

即BC2=ACCD．

∴BC2=2CDOE

（3）解：∵OE∥AC，

∴∠BOE=∠BAD，

在Rt△OBE中，cos∠BOE= = ，

设OB=3t，OE=5t，

则BE=4t，

∴4t=6，解得t= ，

∴OE=5t=

【解析】（1）利用圆周角定理得到∠ADB=90°，再利用直角三角形斜边上的中线性质得CE=DE=BE= BC，则∠C=∠CDE，加上∠A=∠ADO得到∠C+∠A=90°，然后证明∠ODE=90°，从而根据切线的判定方法可判定DE为⊙O的切线；（2）先证明OE是△ABC的中位线得到AC=2OE，再证明△ABC∽△BDC，则利用相似比和比例的性质可得到结论；（3）利用OE∥AC得到∠BOE=∠BAD，根据余弦定义得到cos∠BOE= = ，则可设OB=3t，OE=5t，利用勾股定理得到BE=4t，于是得到4t=6，然后求出t后计算5t即可．