Question

【题目】【问题背景】

在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=60°，试探究图1中线段BE、EF、FD之间的数量关系．

【初步探索】

小亮同学认为：延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，则可得到 BE、EF、FD之间的数量关系是 ．

【探索延伸】

在四边形ABCD中如图2，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是BC、CD上的点，∠EAF=∠BAD，上述结论是否任然成立？说明理由．

【结论运用】

如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角（∠EOF）为70°，试求此时两舰艇之间的距离．

Answer 1

【答案】初步探索：EF=BE+FD；

探索延伸：结论仍然成立，理由见解析；

结论运用：此时两舰艇之间的距离是210海里．

【解析】

试题分析：探索延伸：延长FD到G，使DG=BE，连接AG，证明△ABE≌△ADG和△AEF≌△GAF，得到答案；

结论运用：连接EF，延长AE、BF交于点C，得到EF=AE+BF，根据距离、速度和时间的关系计算即可．

解：初步探索：EF=BE+FD，

故答案为：EF=BE+FD，

探索延伸：结论仍然成立，

证明：如图2，延长FD到G，使DG=BE，连接AG，

∵∠B+∠ADC=180°，∠ADG+∠ADC=180°

∴∠B=∠ADG，

在△ABE和△ADG中，

，

∴△ABE≌△ADG，

∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，

∵∠EAF=∠BAD，

∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF，

∴∠EAF=∠GAF，

在△AEF和△GAF中，

，

∴△AEF≌△GAF，

∴EF=FG，

∴FG=DG+FD=BE+DF；

结论运用：解：如图3，连接EF，延长AE、BF交于点C，

∵∠AOB=30°+90°+（90°﹣70°）=140°，

∠EOF=70°，

∴∠EOF=∠AOB，

∵OA=OB，

∠OAC+∠OBC=（90°﹣30°）+（70°+50°）=180°，

∴符合探索延伸中的条件

∴结论EF=AE+BF成立，

即EF=1.5×（60+80）=210海里，

答：此时两舰艇之间的距离是210海里．