Question

【题目】如图①，若AB∥CD，点P在AB，CD外部，则有∠D=∠BOD，又因为∠BOD是△POB的外角，故∠BOD=∠BPD+∠B，得∠BPD=∠D﹣∠B．

探究一：将点P移到AB，CD内部，如图②，则∠BPD，∠B，∠D之间有何数量关系？并证明你的结论；

探究二：在图②中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD延长线于点Q，如图③，则∠BPD，∠B，∠PDQ，∠BQD之间又有何数量关系？并证明你的结论；

探究三：在图④中，直接根据探究二的结论，写出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．

Answer 1

【答案】探究一：∠B+∠BPD+∠D=360°；探究二：∠BPD=∠B+∠PDQ+∠BQD；探究三：360°．

【解析】

试题分析：探究一，过点P作PE∥AB，根据平行线的性质可知∠B+∠BPE=180°，∠D+∠EPD=180°，即∠B+∠BPD+∠D=360°．

探究二，连接QP并延长至E，根据∠BPE是△BPQ的一个外角，得到∠BPE=∠BQP+∠B．同理得到∠EPD=∠DQP+∠PDQ，从而∠BPD=∠B+∠PDQ+∠BQD．

探究三，根据三角形外角性质和四边形的内角和等于360°得出即可．

探究一，∠B+∠BPD+∠D=360°，

证明：过点P作PE∥AB，如图②，

∴∠B+∠BPE=180°，

又∵AB∥CD，

∴PE∥CD，

∴∠D+∠EPD=180°，

∴∠B+∠BPE+∠D+∠EPD=360°，

即∠B+∠BPD+∠D=360°；

探究二，∠BPD=∠B+∠PDQ+∠BQD，

证明：连接QP并延长至E，如图③，

∵∠BPE是△BPQ的一个外角，

∴∠BPE=∠BQP+∠B．

同理：∠EPD=∠DQP+∠PDQ．

∴∠BPE+∠EPD=∠BQP+∠B+∠DQP+∠PDQ．

即：∠BPD=∠B+∠PDQ+∠BQD；

探究三，如图④，∵∠1=∠A+∠E，∠2=∠B+∠F，∠1+∠2+∠C+∠D=360°，

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．