Question

【题目】如图，在ABCD中，∠B=30°，AB=AC，O是两条对角线的交点，过点O作AC的垂线分别交边AD，BC于点E，F，点M是边AB的一个三等分点，则△AOE与△BMF的面积比为 ．

Answer 1

【答案】3：4
【解析】解：设AB=AC=m，则BM= m， ∵O是两条对角线的交点，
∴OA=OC= AC= m，
∵∠B=30°，AB=AC，
∴∠ACB=∠B=30°，
∵EF⊥AC，
∴cos∠ACB= ，即cos30°= ，
∴FC= m，
∵AE∥FC，
∴∠EAC=∠FCA，
又∵∠AOE=∠COF，AO=CO，
∴△AOE≌△COF，
∴AE=FC= m，
∴OE= AE= m，
∴S△AOE= OAOE= × × m= m2 ，
作AN⊥BC于N，

∵AB=AC，
∴BN=CN= BC，
∵BN= AB= m，
∴BC= m，
∴BF=BC﹣FC= m﹣ m= m，
作MH⊥BC于H，
∵∠B=30°，
∴MH= BM= m，
∴S△BMF= BFMH= × m× m= m2 ，
∴ = = ．
所以答案是3：4．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．