Question

【题目】已知抛物线y=a（x﹣3）2+ 过点C（0，4），顶点为M，与x轴交于A、B两点．如图所示以AB为直径作圆，记作⊙D，下列结论：
①抛物线的对称轴是直线x=3；
②点C在⊙D外；
③在抛物线上存在一点E，能使四边形ADEC为平行四边形；
④直线CM与⊙D相切．
正确的结论是（ ）

A.①③
B.①④
C.①③④
D.①②③④

Answer 1

【答案】B
【解析】解：由抛物线y=a（x﹣3）2+ 可知：抛物线的对称轴x=3，故①正确；

∵抛物线y=a（x﹣3）2+ 过点C（0，4），

∴4=9a+ ，解得：a=﹣ ，

∴抛物线的解析式为y=﹣ （x﹣3）2+ ，

令y=0，则﹣ （x﹣3）2+ =0，解得：x=8或x=﹣2，

∴A（﹣2，0），B（8，0）；

∴AB=10，

∴AD=5，

∴OD=3

∵C（0，4），

∴CD= =5，

∴CD=AD，

∴点C在圆上，故②错误；

过点C作CE∥AB，交抛物线与E，

∵C（0，4），

代入y=﹣ （x﹣3）2+ 得：4=﹣ （x﹣3）2+ ，

解得：x=0，或x=6，

∴CE=6，

∴AD≠CE，

∴四边形ADEC不是平行四边形，故③错误；

由抛物线y=a（x﹣3）2+ 可知：M（3， ），

∵C（0，4），

∴直线CM为y= x+4，直线CD为：y=﹣ x+4，

∴CM⊥CD，

∵CD=AD=5，

∴直线CM与⊙D相切，故④正确；

故选B．