Question

【题目】如图，在△ABC中，∠A＝48°，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2；……；∠An－1BC与∠An－1CD的平分线交于点An，要使∠An的度数为整数，则n的最大值为(　　)

A.2B.3C.4D.5

Answer 1

【答案】C

【解析】

由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD＝∠ABC＋∠A，∠A1CD＝∠A1BC＋∠A1，根据角平分线的定义可得∠A1BC＝∠ABC，∠A1CD＝∠ACD，然后整理得到∠A1＝∠A，根据A1B、A1C分别平分∠ABC、∠ACD可得：∠ABC＝2∠A1BC，∠ACD＝2∠A1CD，而∠ACD＝∠A＋∠ABC ，∠A1CD＝∠A1＋∠A1BC，于是有∠A＝2∠A1，同理可得∠A1＝2∠A2，继而∠A2＝∠A，因此发现规律，将∠A代入即可求出使∠An的度数为整数，则n的最大值．

由三角形的外角性质可得：∠ACD＝∠ABC＋∠A，∠A1CD＝∠A1BC＋∠A1，

∵∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，

∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CD＝∠ACD，

∴∠A1＋∠A1BC＝∠A1CD ＝（∠ABC＋∠A）＝∠A＋∠A1BC，

∴∠A1＝∠A＝×48°＝24°，

∵A1B、A1C分别平分∠ABC、∠ACD，

∴∠ABC＝2∠A1BC，∠ACD＝2∠A1CD，

而∠ACD＝∠A＋∠ABC ，∠A1CD＝∠A1＋∠A1BC，

∴∠A＝2∠A1，

∴∠A1＝∠A,

同理可得：∠A1＝2∠A2，

∴∠A2＝∠A，

∴∠A＝2n∠An，

∴∠An＝∠A

∵∠A＝48°

∴当n＝4时，∠A4＝×48°＝3°，此时n的值最大，

故选：C