Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，AC是上半圆的弦，过点C作⊙O的切线DE交AB的延长线于点E，过点A作切线DE的垂线，垂足为D，且与⊙O交于点F，设∠DAC，∠CEA的度数分别是α，β．
（1）用含α的代数式表示β，并直接写出α的取值范围；
（2）连接OF与AC交于点O′，当点O′是AC的中点时，求α，β的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：）连接OC．

∵DE是⊙O的切线，

∴OC⊥DE，

∵AD⊥DE，

∴AD∥OC，

∴∠DAC=∠ACO，

∵OA=OC，

∴∠OCA=∠OAC，

∴∠DAE=2α，

∵∠D=90°，

∴∠DAE+∠E=90°，

∴2α+β=90°（0°＜α＜45°）

（2）解：连接OF交AC于O′，连接CF．

∵AO′=CO′，

∴AC⊥OF，

∴FA=FC，

∴∠FAC=∠FCA=∠CAO，

∴CF∥OA，∵AF∥OC，

∴四边形AFCO是平行四边形，

∵OA=OC，

∴四边形AFCO是菱形，

∴AF=AO=OF，

∴△AOF是等边三角形，

∴∠FAO=2α=60°，

∴α=30°，

∵2α+β=90°，

∴β=30°，

∴α=β=30°．

【解析】（1）首先证明∠DAE=2α，在Rt△ADE中，根据两锐角互余，可知2α+β=90°，（0°＜α＜45°）；（2）连接OF交AC于O′，连接CF．只要证明四边形AFCO是菱形，推出△AFO是等边三角形即可解决问题；