Question

【题目】如图，A是半径为12cm的⊙O上的定点，动点P从A出发，以2πcm/s的速度沿圆周逆时针运动，当点P回到点A立即停止运动．

（1）如果∠POA=90°，求点P运动的时间；

（2）如果点B是OA延长线上的一点，AB=OA，那么当点P运动的时间为2s时，判断直线BP与⊙O的位置关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）点P运动的时间为3s或9s；（2）直线BP与⊙O相切，理由见解析.

【解析】

（1）当∠POA=90°时，点P运动的路程为⊙O周长的或，所以分两种情况进行分析即可得；

（2）直线BP与⊙O的位置关系是相切，根据已知可证得OP⊥BP，即直线BP与⊙O相切．

（1）当∠POA=90°时，根据弧长公式可知点P运动的路程为⊙O周长的或，

设点P运动的时间为ts，

当点P运动的路程为⊙O周长的时，2πt=2π12，解得t=3；

当点P运动的路程为⊙O周长的时，2πt=2π12，解得t=9，

∴当∠POA=90°时，点P运动的时间为3s或9s；

（2）如图，当点P运动的时间为2s时，直线BP与⊙O相切.理由如下：

当点P运动的时间为2s时，点P运动的路程为4πcm，连接OP，PA，

∵半径AO=12，∴⊙O的周长为24π，

∴的长为⊙O周长的，∴∠POA=60°，

∵OP=OA，∴△OAP是等边三角形，

∴OP=OA=AP，∠OAP=60°，

∵AB=OA，∴AP=AB，

∵∠OAP=∠APB+∠B，∴∠APB=∠B=30°，

∴∠OPB=∠OPA+∠APB=90°，

∴OP⊥BP，∴直线BP与⊙O相切．