Question

【题目】如图所示，在平面直角坐标系中xOy中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．

（1）求A、B两点的坐标及抛物线的对称轴；
（2）求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；
（3）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为 ，求a的值；
（4）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：当y=0时，ax2﹣2ax﹣3a=0，

解得：x1=﹣1，x2=3，

∴A（﹣1，0），B（3，0），

对称轴为直线x= =1

（2）

解：∵直线l：y=kx+b过A（﹣1，0），

∴0=﹣k+b，

即k=b，

∴直线l：y=kx+k，

∵抛物线与直线l交于点A，D，

∴ax2﹣2ax﹣3a=kx+k，

即ax2﹣（2a+k）x﹣3a﹣k=0，

∵CD=4AC，

∴点D的横坐标为4，

∴﹣3﹣ =﹣1×4，

∴k=a，

∴直线l的函数表达式为y=ax+a

（3）

解：过E作EF∥y轴交直线l于F，设E（x，ax2﹣2ax﹣3a），

则F（x，ax+a），EF=ax2﹣2ax﹣3a﹣ax﹣a=ax2﹣3ax﹣4a，

∴S△ACE=S△AFE﹣S△CEF= （ax2﹣3ax﹣4a）（x+1）﹣ （ax2﹣3ax﹣4a）x= （ax2﹣3ax﹣4a）= a（x﹣ ）2﹣ a，

∴△ACE的面积的最大值=﹣ a，

∵△ACE的面积的最大值为 ，

∴﹣ a= ，

解得a=﹣ ；

（4）

解：以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，

令ax2﹣2ax﹣3a=ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a=0，

解得：x1=1，x2=4，

∴D（4，5a），

∵抛物线的对称轴为直线x=1，

设P（1，m），

①若AD是矩形ADPQ的一条边，

则易得Q（﹣4，21a），

m=21a+5a=26a，则P（1，26a），

∵四边形ADPQ是矩形，

∴∠ADP=90°，

∴AD2+PD2=AP2，

∴52+（5a）2+32+（26﹣5a）2=22+（26a）2，

即a2= ，

∵a＜0，

∴a=﹣ ，

∴P（1，﹣ ）；

②若AD是矩形APDQ的对角线，

则易得Q（2，﹣3a），

m=5a﹣（﹣3a）=8a，则P（1，8a），

∵四边形APDQ是矩形，

∴∠APD=90°，

∴AP2+PD2=AD2，

∴（﹣1﹣1）2+（8a）2+（1﹣4）+（8a﹣5a）2=52+（5a）2，

即a2= ，

∵a＜0，

∴a=﹣ ，

∴P（1，﹣4），

综上所述，点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，点P（1，﹣ ）或（1，﹣4）．

【解析】（1）解方程即可得到结论；（2）根据直线l：y=kx+b过A（﹣1，0），得到直线l：y=kx+k，解方程得到点D的横坐标为4，求得k=a，得到直线l的函数表达式为y=ax+a；（3）过E作EF∥y轴交直线l于F，设E（x，ax2﹣2ax﹣3a），得到F（x，ax+a），求出EF=ax2﹣3ax﹣4a，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；（4）令ax2﹣2ax﹣3a=ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a=0，得到D（4，5a），设P（1，m），①若AD是矩形ADPQ的一条边，②若AD是矩形APDQ的对角线，列方程即可得到结论．