Question

【题目】如图，△ABD是⊙O的内接三角形，E是弦BD的中点，点C是⊙O外一点且∠DBC=∠A，连接OE延长与圆相交于点F，与BC相交于点C．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为6，BC=8，求弦BD的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OB，如图所示：

∵E是弦BD的中点，

∴BE=DE，OE⊥BD， = ，

∴∠BOE=∠A，∠OBE+∠BOE=90°，

∵∠DBC=∠A，

∴∠BOE=∠DBC，

∴∠OBE+∠DBC=90°，

∴∠OBC=90°，

即BC⊥OB，

∴BC是⊙O的切线；

（2）解：∵OB=6，BC=8，BC⊥OB，

∴OC= =10，

∵△OBC的面积= OCBE= OBBC，

∴BE= = =4.8，

∴BD=2BE=9.6，

即弦BD的长为9.6

【解析】（1）连接OB，由垂径定理的推论得出BE=DE，OE⊥BD， = ，由圆周角定理得出∠BOE=∠A，证出∠OBE+∠DBC=90°，得出∠OBC=90°即可；（2）由勾股定理求出OC，由△OBC的面积求出BE，即可得出弦BD的长．