Question

【题目】已知：如图，抛物线y=﹣ （x﹣h）2+k与x轴交于A、B，与y轴交于C，抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于H，直线y= x+ 经过点A与对称轴交于E，点E的纵坐标为3．

（1）求h、k的值；
（2）点P为第四象限抛物线上一点，连接PH，点Q为PH的中点，连接AQ、AP，设点P的横坐标为t，△AQP的面积为S，求S与t的函数关系式（直接写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，过点Q作y轴的平行线QK，过点D作y轴的垂直DK，直线QK、DK交于点K，连接PK、EK，若2∠DKE+∠HPK=90°，求点P的横坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵点E的纵坐标为3，

∴3= x+ ，

解得：x=2，

∴D点的横坐标是2，

∴h=2，

∵直线y= x+ 经过点A，

∴A（﹣2，0）代入y=﹣ （x﹣h）2+k得，0=﹣ （﹣2﹣h）2+k，

∴k=4；

（2）解：如图1，设P的横坐标为t，则纵坐标为﹣ t2+t+3，

∵点Q为PH的中点，

∴S△APQ=S△AQH，

∴S△APQ= S△AHP，

∵S△AHP= AH（ t2﹣t﹣3），

∵AH=4，

∴S= ×4×（（ t2﹣t﹣3）= t2﹣t﹣3（t＞6）；

（3）解：如图2，过P作x轴、y轴的平行线分别交DH，KQ于M，N，交直线DK于R，

则四边形DKNM，四边形KNPR是矩形，

设MN=m，

∴DK=KR=m，

∴P点的横坐标为2m+2，代入y=﹣ （x﹣2）2+4中，

得到P点的纵坐标为：﹣m2+4，∴DM=RP=m2，

∴tan∠DKE= = ，

∴∠DKE=∠KPR，

∴EK⊥PK，

∵2∠DKE+∠HPK=90°，∠DKE=∠KPR，∠BHP+∠HPK+∠KPR=90°，

∴∠DKE=∠PHB，

∴tan∠DKE=tan∠PHB，

∴ = ，

∴m=± （m=﹣ 舍去），

∴m= ，

∴点P的横坐标为2+2 ．

【解析】（1）先求出E的横坐标，等于D的横坐标，即h值，再把A坐标代入抛物线解析式求出k;（2）由“Q为PH的中点”可知△APQ与△AHP是同高等底三角形，面积相等，因此可用t的代数式表示S△AHP，再乘以;(3)由"2∠DKE+∠HPK=90°"可推出∠DKE=∠KPR，∠BHP+∠HPK+∠KPR=90°，∠DKE=∠KPR，根据二者的正切定义构建等式，求出m.