Question

【题目】如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．

（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；

（2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值；

（3）试证明：PQ的中点在△ABC的一条中位线上．

Answer 1

【答案】（1）t=1或时，△BPQ与△ABC相似；（2）t=；（3）证明见解析.

【解析】试题分析：（1）分两种情况讨论：①当△BPQ∽△BAC时， ，当△BPQ∽△BCA时， ，再根据BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm，代入计算即可；

（2）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB=5t，PM=3t，MC=8-4t，根据△ACQ∽△CMP，得出，代入计算即可；

（3）作PE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，先得出DF=，再把QC=4t，PE=8-CM=8-4t代入求出DF，过BC的中点R作直线平行于AC，得出RC=DF，D在过R的中位线上，从而证出PQ的中点在△ABC的一条中位线上．

试题解析：（1）∵AC=6cm，BC=8cm，

∴AB==10cm，

①当△BPQ∽△BAC时，

∵，BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm，

∴，

∴t=1；

②当△BPQ∽△BCA时，

∵，

∴，

∴t=，

∴t=1或时，△BPQ与△ABC相似；

（2）如图所示，过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB=5t，PM=PBsinB=3t，BM=4t，MC=8-4t，

∵∠NAC+∠NCA=90°，∠PCM+∠NCA=90°，

∴∠NAC=∠PCM且∠ACQ=∠PMC=90°，

∴△ACQ∽△CMP，

∴，

∴，

解得：t=；

（3）如图，作PM⊥BC于点M，PQ的中点设为D点，再作PE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，

∵∠ACB=90°，

∴DF为梯形PECQ的中位线，

∴DF=，

∵QC=4t，PE=8-BM=8-4t，

∴DF==4，

∵BC=8，过BC的中点R作直线平行于AC，

∴RC=DF=4成立，

∴D在过R的中位线上，

∴PQ的中点在△ABC的一条中位线上．