Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AB＝5cm，BC＝2cm，M，N两点分别从A，B两点以2cm/s和1cm/s的速度在矩形ABCD边上沿逆时针方向运动，其中有一点运动到点D即停止，当运动时间为_____秒时，△MBN为等腰三角形．

Answer 1

【答案】或（6-2）或

【解析】

分情况讨论：①点M在AB上，点N在BC上时，BM＝BN，列出方程其解即可；②点M在BC上，点N在CD上时，表示出BM、CM、CN，再根据勾股定理列式表示出MN2，然后根据BM＝MN列出方程求解即可；③点M、N都在C、D上时，表示出MN、CM，再根据勾股定理分两种情况列式表示出BM（或BN），然后根据BM＝MN（或BN＝MN）列出方程求解即可；④点M在AB上，点N在CD上时，根据等腰三角形的性质，CN＝BM，然后列式求解即可．

解：分情况讨论：

①如图1所示：

点M在AB上，点N在BC上时，t＜2，BM＝5﹣2t，BN＝t，

∵BM＝BN，

∴5﹣2t＝t，

解得t＝；

②如图2所示：

点M在BC上，点N在CD上时，2.5＜t＜3.5，BM＝2t﹣5，CM＝2﹣（2t﹣5）＝7﹣2t，CN＝t﹣2，

在Rt△MCN中，MN2＝（7﹣2t）2+（t﹣2）2，

∵BM＝MN，

∴（2t﹣5）2＝（7﹣2t）2+（t﹣2）2，

整理得，t2﹣12t+28＝0，

解得：t1＝6﹣2 ，t2＝6+2（舍去）；

③如图3所示：

点M、N都在C、D上时，t＞3.5，

若点M在点N的右边，则CM＝2t﹣7，MN＝t﹣（2t﹣7）＝7﹣2t，

此时BM2＝（2t﹣7）2+22，

∵BM＝MN，

∴（2t﹣7）2+22＝（7﹣2t）2，无解，

若点M在点N的左边，则CN＝t﹣2，MN＝（2t﹣7）﹣（t﹣2）＝t﹣5，

此时BN2＝（t﹣2）2+22，

∵BN＝MN，

∴（t﹣2）2+22＝（t﹣5）2，

整理得，t＝（不符合题意，舍去），；

④如图4所示：

点M在AB上，点N在CD上时，BM＝5﹣2t，CN＝t﹣2，

由等腰三角形三线合一的性质，CN＝BM，

∴t﹣2＝（5﹣2t），

解得：t＝；

综上所述，当运动时间为或（6﹣2）或秒时，△MBN为等腰三角形．

故答案为：或（6﹣2）或．