Question

【题目】直角三角形ABC中，∠ACB=90°，直线l过点 C．

（1）当AC=BC时，如图1，分别过点A和B作AD⊥直线l于点D，BE⊥直线l于点 E．△ACD与△CBE是否全等，并说明理由；

（2）当AC=8cm，BC=6cm时，如图2，点B与点F关于直线l对称，连接BF、CF．点M是AC上一点，点N是CF上一点，分别过点M、N作MD⊥直线l于点D，NE⊥直线l于点E，点M从A点出发，以每秒1cm的速度沿A→C路径运动，终点为 C．点N从点F出发，以每秒3cm的速度沿F→C→B→C→F路径运动，终点为F．点M、N同时开始运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为t秒．

①当△CMN为等腰直角三角形时，求t的值；

②当△MDC与△CEN全等时，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）全等；证明见解析；（2）①3.5秒或5秒；②3.5秒或5秒或6.5秒.

【解析】

（1）根据垂直的定义得到∠DAC=∠ECB，利用AAS定理证明△ACD≌△CBE；

（2）①分点F沿C→B路径运动和点F沿B→C路径运动两种情况，根据等腰三角形的定义列出算式，计算即可；

②分点F沿F→C路径运动，点F沿C→B路径运动，点F沿B→C路径运动，点F沿C→F路径运动四种情况，根据全等三角形的判定定理列式计算．

解：（1）△ACD与△CBE全等．

理由如下：∵AD⊥直线l，

∴∠DAC+∠ACD=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠BCE+∠ACD=90°，

∴∠DAC=∠ECB，

在△ACD和△CBE中，

，

∴△ACD≌△CBE（AAS）；

（2）①由题意得，AM=t，FN=3t，

则CM=8﹣t，

由折叠的性质可知，CF=CB=6，

∴CN=6﹣3t，

点N在BC上时，△CMN为等腰直角三角形，

当点F沿C→B路径运动时，由题意得，8﹣t=3t﹣6，

解得，t=3.5，

当点F沿B→C路径运动时，由题意得，8﹣t=18﹣3t，

解得，t=5，

综上所述，当t=3.5秒或5秒时，△CMN为等腰直角三角形；

②由折叠的性质可知，∠BCE=∠FCE，

∵∠MCD+∠CMD=90°，∠MCD+∠BCE=90°，

∴∠NCE=∠CMD，

∴当CM=CN时，△MDC与△CEN全等，

当点F沿F→C路径运动时，8﹣t=6﹣3t，

解得，t=﹣1（不合题意），

当点F沿C→B路径运动时，8﹣t═3t﹣6，

解得，t=3.5，

当点F沿B→C路径运动时，由题意得，8﹣t=18﹣3t，

解得，t=5，

当点F沿C→F路径运动时，由题意得，8﹣t=3t﹣18，

解得，t=6.5，

综上所述，当t=3.5秒或5秒或6.5秒时，△MDC与△CEN全等．