Question

【题目】已知：如图，在△ABC中，D、E分别是AB、BC边上的中点，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于F点，连接CD、BF．

（1）求证：△BDE≌△CFE；

（2）△ABC满足什么条件时，四边形BDCF是矩形？

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）当BC＝AC时，四边形BDCF是矩形，理由详见解析

【解析】

（1）由平行线的性质得出∠DBE＝∠CFE，由中点的定义得出BE＝CE，由ASA证明△BDE≌△CFE即可；

（2）先证明DE是△ABC的中位线，得出DE∥AC，证出四边形BDCF是平行四边形，得出AD＝CF，证出CF＝BD，得出四边形BDCF是平行四边形；再由等腰三角形的性质得出CD⊥AB，即可得出结论．

（1）证明：∵CF∥AB，

∴∠DBE＝∠CFE，

∵E是BC的中点，

∴BE＝CE，

在△BDE和△CFE中，

∴△BDE≌△CFE（ASA）；

（2）解：当BC＝AC时，四边形BDCF是矩形，理由如下：

∵D、E分别是AB，BC的中点

∴DE是△ABC的中位线，

∴DE∥AC，又AF∥BC，

∴四边形BDCF是平行四边形，

∴AD＝CF，

又BD＝AD，

∴CF＝BD，又CF∥BD，

∴四边形BDCF是平行四边形；

∵BC＝AC，BD＝AD，

∴CD⊥AB，即∠BDC＝90°，

∴平行四边形BDCF是矩形．