Question

【题目】如图，平行四边形ABCD中，BD⊥AD，∠A=45°，E、F分别是AB、CD上的点，且BE=DF，连接EF交BD于O．

（1）求证：BO=DO；
（2）若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG=1时，求AE的长．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴DC∥AB，

∴∠OBE=∠ODF．

在△OBE与△ODF中，

∴△OBE≌△ODF（AAS）．

∴BO=DO．

（2）

解：∵EF⊥AB，AB∥DC，

∴∠GEA=∠GFD=90°．

∵∠A=45°，

∴∠G=∠A=45°．

∴AE=GE

∵BD⊥AD，

∴∠ADB=∠GDO=90°．

∴∠GOD=∠G=45°．

∴DG=DO，

∴OF=FG=1，

由（1）可知，OE=OF=1，

∴GE=OE+OF+FG=3，

∴AE=3．

【解析】1）由平行四边形的性质和AAS证明△OBE≌△ODF，得出对应边相等即可；（2）证出AE=GE，再证明DG=DO，得出OF=FG=1，即可得出结果．
【考点精析】掌握平行四边形的性质是解答本题的根本，需要知道平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分．