Question

【题目】如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°．

①当点D在AC上时，如图（1），线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论；

②将图（1）中的△ADE的位置改变一下，如图（2），使∠BAD=∠CAE，其他条件不变，则线段BD，CE又有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．

Answer 1

【答案】①BD=CE，BD⊥CE；②BD=CE，BD⊥CE，理由见解析

【解析】

试题分析：（1）BD=CE，BD⊥CE，延长BD与EC交于点F，可以证明△ACE≌△ADB，可得BD=CE，且∠BFE=90°，即可解答；

（2）BD=CE，BD⊥CE，延长BD交AC于F，交CE于H，可以证明△ACE≌△ADB，可得BD=CE，利用三角形的内角和为180°，即可得到BD⊥CE．

解：（1）BD=CE，BD⊥CE；

如图（1），延长BD与EC交于点F，

在△ACE和△ADB中，

，

∴△ACE≌△ADB（SAS），

∴BD=CE，∠AEC=∠ADB，

∵∠ADB+∠ABD=90°

∴∠ABD+∠AEC=90°

∴∠BFE=90°，

∴BD⊥CE．

（2）结论：BD=CE，BD⊥CE，

理由如下：∵∠BAC=∠DAE=90°

∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，

即∠BAD=∠CAE，

在△ABD与△ACE中，

∴△ABD≌△ACE（SAS）

∴BD=CE，

如图（2），延长BD交AC于F，交CE于H．

在△ABF与△HCF中，

∵∠ABF=∠HCF，∠AFB=∠HFC

∴∠CHF=∠BAF=90°

∴BD⊥CE．