Question

【题目】阅读下面材料：小腾遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAD=75°，∠CAD=30°，AD=2，BD=2DC，求AC的长．

小腾发现，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，通过构造△ACE，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图 2）．

请回答：∠ACE的度数为 ，AC的长为 ．

参考小腾思考问题的方法，解决问题：

如图 3，在四边形 ABCD中，∠BAC=90°，∠CAD=30°，∠ADC=75°，AC与BD交于点E，AE=2，BE=2ED，求BC的长．

Answer 1

【答案】（1）3（2）∠ACE=75°，AC=3（3）

【解析】

试题分析：根据相似的三角形的判定与性质，可得=2，根据等腰三角形的判定，可得AE=AC，根据正切函数，可得DF的长，根据直角三角形的性质，可得AB与DF的关系，根据勾股定理，可得答案．

试题解析：∠ABC+∠ACB=∠ECD+∠ACB=∠ACE=180°﹣75°﹣30°=75°，

∠E=75°，BD=2DC，

∴AD=2DE，

AE=AD+DE=3，

∴AC=AE=3，

∠ACE=75°，AC的长为3．

过点D作DF⊥AC于点F．

∵∠BAC=90°=∠DFA，

∴AB∥DF，

∴△ABE∽△FDE，

∴=2，

∴EF=1，AB=2DF．

在△ACD中，∠CAD=30°，∠ADC=75°，

∴∠ACD=75°，AC=AD．

∵DF⊥AC，

∴∠AFD=90°，

在△AFD中，AF=2+1=3，∠FAD=30°，

∴DF=AFtan30°=，AD=2DF=2．

∴AC=AD=2，AB=2DF=2．

∴BC==．