Question

【题目】如图，抛物线y=﹣ x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，与y轴交于点C（0，2），抛物线的对称轴交x轴于点D．

（1）求抛物线的解析式；
（2）求sin∠ABC的值；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
（4）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时线段EF最长？求出此时E点的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵抛物线y=﹣ x2+bx+c过点A（﹣1，0），C（0，2），

．

∴解析式为y=﹣ x2+ x+2

（2）

解：当y=0时，﹣ x2+ x+2=0解得x=﹣1（舍），x=4，

点B的坐标为（4，0），C（0，2），

BC= =2 ．

∴sin∠ABC=sin∠OBC= =

（3）

解：存在．

∵对称轴是x= ，

∴点D的坐标为（ ，0），

∴CD= = ．

PD=CD= ，得P（ ， ）或（ ，﹣ ），

PC=CD= ，即P点与D点关于底边的高对称，得

D点的纵坐标为4，即P（ ，4），

综上所述：点P的坐标为（ ， ）或（ ，﹣ ），（ ，4）

（4）

解：设直线BC的解析式为y=mx+n

∵B、C两点坐标分别为（4，0）、（0，2），

解得 ，

∴直线BC的解析式为y=﹣ x+2．

设E点坐标为（x，﹣ x+2），则F点坐标为（x，﹣﹣ x2+ x+2），

EF=﹣ x2+ x+2﹣（﹣ x+2）

=﹣ x2+2x

=﹣ （x﹣2）2+2，

当x=2时，EF最长，

∴当点E坐标为（2，1）时，线段EF最长

【解析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据勾股定理，可得BC的长，根据正弦函数的定义，可得答案；（3）根据等腰三角形的定义，可得P点坐标；（4）根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案．
【考点精析】掌握二次函数的图象和二次函数的性质是解答本题的根本，需要知道二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．