Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．

（1）求抛物线的表达式；
（2）直接写出点C的坐标，并求出△ABC的面积；
（3）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△ABP的面积为6时，求出点P的坐标；
（4）若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN的面积．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把点A（4，0），B（1，3）代入抛物线y=ax2+bx中，

得 解得： ，

∴抛物线表达式为：y=﹣x2+4x；

（2）

解：点C的坐标为（3，3），

又∵点B的坐标为（1，3），

∴BC=2，

∴S△ABC= ×2×3=3；

（3）

解：过P点作PD⊥BH交BH于点D，

设点P（m，﹣m2+4m），

根据题意，得：BH=AH=3，HD=m2﹣4m，PD=m﹣1，

∴S△ABP=S△ABH+S四边形HAPD﹣S△BPD，

6= ×3×3+ （3+m﹣1）（m2﹣4m）﹣ （m﹣1）（3+m2﹣4m），

∴3m2﹣15m=0，

m1=0（舍去），m2=5，

∴点P坐标为（5，﹣5）．

（4）

解：以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，分三类情况讨论：

①以点M为直角顶点且M在x轴上方时，如图2，CM=MN，∠CMN=90°，

则△CBM≌△MHN，

∴BC=MH=2，BM=HN=3﹣2=1，

∴M（1，2），N（2，0），

由勾股定理得：MC= = ，

∴S△CMN= × × = ；

②以点M为直角顶点且M在x轴下方时，如图3，作辅助线，构建如图所示的两直角三角形：Rt△NEM和Rt△MDC，

得Rt△NEM≌Rt△MDC，

∴EM=CD=5，MD=ME=2，

由勾股定理得：CM= = ，

∴S△CMN= × × = ；

③以点N为直角顶点且N在y轴左侧时，如图4，CN=MN，∠MNC=90°，作辅助线，

同理得：CN= = ，

∴S△CMN= × × =17；

④以点N为直角顶点且N在y轴右侧时，作辅助线，如图5，同理得：CN= = ，

∴S△CMN= × × =5；

⑤以C为直角顶点时，不能构成满足条件的等腰直角三角形；

综上所述：△CMN的面积为： 或 或17或5．

【解析】本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数的表达式，考查了等腰直角三角形和全等三角形的判定和性质；本题的一般思路为：①根据函数的表达式设出点的坐标，利用面积公式直接表示或求和或求差列式，求出该点的坐标；②利用等腰直角三角形的两直角边相等，构建两直角三角形全等，再利用全等性质与点的坐标结合解决问题．（1）利用待定系数法求二次函数的表达式；（2）根据二次函数的对称轴x=2写出点C的坐标为（3，3），根据面积公式求△ABC的面积；（3）因为点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，设出点P的坐标（m，﹣m2+4m），利用差表示△ABP的面积，列式计算求出m的值，写出点P的坐标；（4）分别以点C、M、N为直角顶点分三类进行讨论，利用全等三角形和勾股定理求CM或CN的长，利用面积公式进行计算．
【考点精析】关于本题考查的等腰直角三角形，需要了解等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形；等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°才能得出正确答案．