Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知抛物线y=+bx﹣4经过A（﹣4，0），C（2，0）两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；

（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=﹣x上的动点，点B是抛物线与y轴交点．判断有几个位置能够使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．

Answer 1

【答案】(1)y=+x﹣4；(2) S=﹣4m；m=﹣2时S有最大值S=4；(3)（﹣4，4）或（，）或（，）.

【解析】

试题分析：（1）设抛物线解析式为y=+bx+c，然后把点A、B、C的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求解即可；

（2）根据图形的割补法，可得二次函数，根据抛物线的性质求出第三象限内二次函数的最值，然后即可得解；

（3）利用直线与抛物线的解析式表示出点P、Q的坐标，然后求出PQ的长度，再根据平行四边形的对边相等列出算式，然后解关于x的一元二次方程即可得解．

试题解析：（1）将A（﹣4，0），C（2，0）两点代入函数解析式，得

，

解得，

所以此函数解析式为：y=+x﹣4；

（2）∵M点的横坐标为m，且点M在这条抛物线上，

∴M点的坐标为：（m，+m﹣4），

∴=×4×（+m﹣4）+×4×（﹣m）﹣×4×4=﹣4m=，

∵﹣4＜m＜0，

当m=﹣2时，S有最大值为：S=﹣4+8=4，

答：S关于 m的函数关系式为S=﹣4m；m=﹣2时S有最大值S=4；

（3）∵点Q是直线y=﹣x上的动点，

∴设点Q的坐标为（a，﹣a），

∵点P在抛物线上，且PQ∥y轴，

∴点P的坐标为（a，+a﹣4），

∴PQ=﹣a﹣（+a﹣4）=﹣2a+4，

又∵OB=0﹣（﹣4）=4，

以点P，Q，B，O为顶点的四边形是平行四边形，

∴|PQ|=OB，

即|﹣2a+4|=4，

①﹣2a+4=4时，整理得，+4a=0，

解得a=0（舍去）或a=﹣4，

﹣a=4，

所以点Q坐标为（﹣4，4），

②﹣2a+4=﹣4时，整理得，+4a﹣16=0，

解得a=，

所以点Q的坐标为（，）或（，）．

综上所述，Q坐标为（﹣4，4）或（，）或（，）时，使点P，Q，B，O为顶点的四边形是平行四边形．