Question

【题目】如图，在矩形ABCD和矩形PEFG中，AB=8，BC=6，PE=2，PG=4．PE与AC交于点M，EF与AC交于点N，动点P从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，伴随点P的运动，矩形PEFG在射线AB上滑动；动点K从点P出发沿折线PE﹣﹣EF以每秒1个单位长的速度匀速运动．点P、K同时开始运动，当点K到达点F时停止运动，点P也随之停止．设点P、K运动的时间是t秒（t＞0）．
（1）当t=1时，KE= ， EN=；
（2）当t为何值时，△APM的面积与△MNE的面积相等？
（3）当点K到达点N时，求出t的值；

Answer 1

【答案】
（1）1；
（2）解：由（1）并结合题意可得，

AP=t，PM= t，ME=2﹣ t，NE= ﹣t，

∴ t× t= （2﹣ t）×（ ﹣t），

解得，t= ；

（3）解：当点K到达点N时，则PE+NE=AP，

由（2）得， ﹣t+2=t，

解得，t= ；（4）当t为何值时，△PKB是直角三角形？

解：①当K在PE边上任意一点时△PKB是直角三角形，

即，0＜t≤2；

②当点k在EF上时，

则KE=t﹣2，BP=8﹣t，

∵△BPK∽△PKE，

∴PK2=BP×KE，PK2=PE2+KE2，

∴4+（t﹣2）2=（8﹣t）（t﹣2），

解得t=3，t=4；

③当t=5时，点K在BC边上，∠KBP=90°．

综上，当0＜t≤2或t=3或t=4或5时，△PKB是直角三角形．

【解析】解：（1）当t=1时，根据题意得，AP=1，PK=1， ∵PE=2，
∴KE=2﹣1=1，
∵四边形ABCD和PEFG都是矩形，
∴△APM∽△ABC，△APM∽△NEM，
∴ = ， = ，
∴MP= ，ME= ，
∴NE= ；
故答案为：1； ；
（1）利用△APM∽△ABC求出PM，然后求出ME，再利用△APM∽△NEM，就可以求出EN．（2）△APM的面积与△MNE的面积相等，且两个三角形相似，所以，只有两三角形全等面积就相等，表示出三角形的面积，从而求出t值．（3）（1）已经求出EN的值，根据EN+PE=AP的值，解出t即可．（4）是直角三角形有两种情况，K在PE边上任意一点时△PKB是直角三角形，在FE上的一点时也是直角三角形．利用三角形相似求出t的值．