Question

【题目】对于⊙C与⊙C上的一点A，若平面内的点P满足：射线AP与⊙C交于点Q（点Q可以与点P重合），且，则点P称为点A关于⊙C的“生长点”．

已知点O为坐标原点，⊙O的半径为1，点A（-1，0）．

（1）若点P是点A关于⊙O的“生长点”，且点P在x轴上，请写出一个符合条件的点P的坐标________；

（2）若点B是点A关于⊙O的“生长点”，且满足，求点B的纵坐标t的取值范围；

（3）直线与x轴交于点M，与y轴交于点N，若线段MN上存在点A关于⊙O的“生长点”，直接写出b的取值范围是_____________________________．

Answer 1

【答案】（1）（2，0）（答案不唯一）；（2）或；（3）或．

【解析】试题分析：

（1）由题意可知，在x轴上找点P是比较简单的，这样的P点不是唯一的，如点（2，0）、（1，0）等；

（2）如图1，在x轴上方作射线AM交⊙O于点M，使tan∠MAO=，并在射线AM是取点N，使MN=AM，则由题意可知，线段MN上的点都是符合条件的B点，过点M作MH⊥x轴于点H，连接MC，结合已知条件求出点M和点N的纵坐标即可得到所求B点的纵坐标t的取值范围；根据对称性，在x轴的下方得到线段M′N′，同理可求得满足条件的B点的纵坐标t的另一取值范围；

（3）如图2，3，由与x轴交于点M，与y轴交于点N，可得点M的坐标为，点N的坐标为，由此结合∠OMN的正切函数可求得∠OMN=60°；

以点D（1，0）为圆心，2为半径作圆⊙D，则⊙D和⊙O相切于点A，由题意可知，点A关于⊙O的“生长点”都在⊙O到⊙D之间的平面内，包括两个圆（但点A除外）.

然后结合题意和∠OMN=60°分b>0和b<0两种情况在图2和图3中求出ON1和ON2的长即可得到b的取值范围了.

试题解析：

（1）由题意可知，在x轴上找点P是比较简单的，这样的P点不是唯一的，如点（2，0）、（1，0）等；

（2）如图1，在x轴上方作射线AM，与⊙O交于M，且使得，并在AM上取点N，使AM=MN，并由对称性，将MN关于x轴对称，得，则由题意，线段MN和上的点是满足条件的点B.

作MH⊥x轴于H，连接MC，

∴ ∠MHA=90°，即∠OAM+∠AMH=90°.

∵ AC是⊙O的直径，

∴ ∠AMC=90°，即∠AMH+∠HMC=90°.

∴ ∠OAM=∠HMC.

∴.

∴.

设，则， ，

∴，解得，即点M的纵坐标为.

又由，A为（-1，0），可得点N的纵坐标为，

故在线段MN上，点B的纵坐标t满足： .

由对称性，在线段上，点B的纵坐标t满足： .

∴ 点B的纵坐标t的取值范围是或.

（3）如图2，以点D（1，0）为圆心，2为半径作圆⊙D，则⊙D和⊙O相切于点A，由题意可知，点A关于⊙O的“生长点”都在⊙O到⊙D之间的平面内，包括两个圆（但点A除外）.

∵直线与x轴交于点M，与y轴交于点N，

∴点M的坐标为，点N的坐标为，

∴tan∠OMN=，

∴∠OMN=60°，

要在线段MN上找点A关于⊙O的“生长点”，现分“b>0”和“b<0”两种情况讨论：

I、①当直线过点N1（0，1）时，线段MN上有点A关于⊙O的唯一“生长点”N1，此时b=1；

②当直线与⊙D相切于点B时，线段MN上有点A关于⊙O的唯一“生长点”B，此时直线与y轴相交于点N2，与x轴相交于点M2，连接DB，则DB=2，

∴DM2=，

∴OM2=，

∴ON2=tan60°·OM2=，此时b=.

综合①②可得，当b>0时，若线段MN上存在点A关于⊙O的“生长点”，则b的取值范围为： ；

II、当b<0时，如图3，同理可得若线段MN上存在点A关于⊙O的“生长点”，则b的取值范围为： ；

综上所述，若在线段MN上存在点A关于⊙O的“生长点”，则b的取值范围为： 或.