Question

【题目】如图，在中， ，垂足为，过的⊙O分别与交于点，连接．

（1）求证：≌；

（2）当与⊙O相切时，求⊙O的面积．

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2).

【解析】分析：（1）由等腰直角三角形的性质知AD=CD、∠1=∠C=45°，由∠EAF=90°知EF是⊙O的直径，据此知∠2+∠4=∠3+∠4=90°，得∠2=∠3，利用“ASA”证明即可得；

（2）当BC与⊙O相切时，AD是直径，根据∠C=45°、AC=可得AD=1，利用圆的面积公式可得答案．

详解：（1）如图，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠C=45°．

又∵AD⊥BC，AB=AC，∴∠1=∠BAC=45°，BD=CD，∠ADC=90°．

又∵∠BAC=90°，BD=CD，∴AD=CD．

又∵∠EAF=90°，∴EF是⊙O的直径，∴∠EDF=90°，∴∠2+∠4=90°．

又∵∠3+∠4=90°，∴∠2=∠3．在△ADE和△CDF中．

∵，∴△ADE≌△CDF（ASA）．

（2）当BC与⊙O相切时，AD是直径．在Rt△ADC中，∠C=45°，AC=，∴sin∠C=，∴AD=ACsin∠C=1，∴⊙O的半径为，∴⊙O的面积为．