【题目】已知如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCO为梯形，BC∥AO，四个顶点坐标分别为A（4，0），B（1，4），C（0，4），O（0，0）．一动点P从O出发以每秒1个单位长度的速度沿OA的方向向A运动；同时，动点Q从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿A→B→C的方向向C运动．两个动点若其中一个到达终点，另一个也随之停止．设其运动时间为t秒．

（1）求过A，B，C三点的抛物线的解析式；

（2）当t为何值时，PB与AQ互相平分；

（3）连接PQ，设△PAQ的面积为S，探索S与t的函数关系式．求t为何值时，S有最大值？最大值是多少？

参考答案：

【答案】（1）；（2）t=3；（3）当t=2时，S△PAQ有最大值为．

【解析】

（1）设出抛物线的解析式，运用待定系数法可以直接求出抛物线的解析式．

（2）根据PB与AQ互相平分可以得出四边形BQPA是平行四边形，得出QB=PA建立等量关系可以求出t值．

（3）是一道分段函数，分为Q点在AB上和在BC上根据三角形的面积公式表示出S于t的关系式就可以求出其答案．

解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），代入A、B、C三点，得

解得：

∴．

（2）∵使得PB与AQ互相平分，

∴四边形BQPA是平行四边形，

∴BQ=PA，

∵AB==5，

∴2t-5=4-t，

解得：t=3．

（3）由已知得AB=5，CB=1．

①当时，点Q在线段AB上运动，

设P（xP，0），Q（xQ，yQ），∠OAB=θ，sinθ=，

∴，

∵，

∴，

∴当t=2时，S△PAQ有最大值为．

②当时，点Q在线段BC上运动，则

∴当时，S△PAQ有最大值为3．

∴综上所述，当t=2时，S△PAQ有最大值为．

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