Question

【题目】综合题。
（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN．求证：CN∥AB．

（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论CN∥AB还成立吗？请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：

∵△ABC和△AMN都是等边三角形，

∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，

∴∠BAM+∠MAC=∠MAC+∠CAN，

∴∠BAM=∠CAN，

在△ABM和△ACN中，

∴△ABM≌△ACN（SAS），

∴∠ACN=∠ABM=60°，

∵∠ACB=60°

∴∠BCN+∠ABM=180°；

∴CN∥AB

（2）

证明：成立，

理由如下：

∵△ABC和△AMN都是等边三角形，

∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，

∴∠BAC+∠CAM=∠CAM+∠MAN，

∴∠BAM=∠CAN

在△ABM和△ACN中， ，

∴△ABM≌△ACN（SAS），

∴∠ACN=∠ABM=60°，

∵∠ACB=60°

∴∠BCN+∠ABM=180°；

∴CN∥AB

【解析】（1）利用等边三角形的性质得出AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN，进而得出∠BAM=∠CAN，即可判断出△ABM≌△ACN（SAS），得出∠ACN=∠ABM=60°，进而得出∠BCN+∠ABM=180°即可得出结论；（2）同（1）的方法即可得出结论．
【考点精析】解答此题的关键在于理解全等三角形的性质的相关知识，掌握全等三角形的对应边相等; 全等三角形的对应角相等，以及对等边三角形的性质的理解，了解等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°．