Question

【题目】如图，已知是△的外角的平分线，交的延长线于点，延长交△的外接圆于点，连接， ．

（）求证： ．

（）已知，若是△外接圆的直径， ，求的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】试题分析：

（1）由四边形AFBC内接于圆可证得∠DAC=∠FBC；由AD平分∠EAC可得∠EAD=∠DAC，结合∠EAD=∠FAB，∠FAB=∠FCB，可得∠FCB=∠DAC，从而可得结论：∠FBC=∠FCB；

（2）由已知条件易证△ABF∽△BDF，由此可得： 即，从而可解得； ， 可解得：FD=6，AD=4；由AB是△ABC外接圆的直径可得∠DFB=∠ACB=∠ACD=90°，由此可解得BD=，结合∠D=∠D，可证得△DBF∽△DAC，由此可得CD:DF=AD:BD即可解得CD的值.

试题解析：

（）∵四边形内接于圆，

∴，

∵，

∴，

∵是△的外角平分线，

∴， ，

∴，

又∵，

∴．

（）由（）得，

又∵，

∴△∽△，

∴，

∴，

∴，

又∵，

∴， ，

∵是直径，

∴，

∴BD=，

又∵∠D=∠D，

∴△DBF∽△DAC，

∴ ，

∴CD=24，解得：CD=.