Question

【题目】已知：点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离OD=OE，且OB＝OC.
（1）如图，若点O在BC上，求证：AB＝AC；

（2）如图，若点O在△ABC的内部，求证：AB＝AC；

（3）若点O在△ABC的外部，AB＝AC成立吗？请画图表示.

Answer 1

【答案】
（1）解：证明：过点O分别作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，

由题意知，

在Rt△OEB和Rt△OFC中

∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL）， （1）由HL判断出Rt△OEB≌Rt△OFC ，根据全等三角形对应角相等得出∠ABC=∠ACB ，根据等角等等边得出AB=AC ；

∴∠ABC=∠ACB，

∴AB=AC

（2）证明：过点O分别作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，

由题意知，OE=OF．∠BEO=∠CFO=90°，

∵在Rt△OEB和Rt△OFC中

∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），

∴∠OBE=∠OCF，

又∵OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB，

∴∠ABC=∠ACB，

∴AB=AC；

（3）解：不一定成立，当∠A的平分线所在直线与边BC的垂直平分线重合时AB=AC，否则AB≠AC．（如图）

【解析】 （1）由HL判断出Rt△OEB≌Rt△OFC ，根据全等三角形对应角相等得出∠ABC=∠ACB ，根据等角等等边得出AB=AC ；
（2）过点O分别作OD⊥AB于D，EF⊥AC于E，根据HL判断出Rt△ODB≌Rt△OEC ，根据全等三角形的性质得出∠OBD=∠OCE，由根据等边对等角得出∠OBC=∠OCB，从而得出∠ABC=∠ACB，根据等角对等边得出AB=AC；
（3）不一定成立，当∠A的平分线所在直线与边BC的垂直平分线重合时AB=AC，否则AB≠AC．（如图）
【考点精析】通过灵活运用角平分线的性质定理和线段垂直平分线的性质，掌握定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 定理2：一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上；垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线；线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等即可以解答此题．