Question

【题目】[问题]如图①，点是的角平分线上一点，连接，，若与互补，则线段与有什么数量关系？

[探究]

探究一：如图②，若，则，即，，又因为平分，所以，理由是：_______．

探究二：若，请借助图①，探究与的数量关系并说明理由．

[结论]点是的角平分线上一点，连接，，若与互补，则线段与的数量关系是______．

[拓展]已知：如图③，在中，，，平分．求证：．

Answer 1

【答案】探究一：角的平分线上的点到角的两边距离相等；探究二：AD＝CD；理由见解析；[结论]：AD＝CD；[拓展]：见解析．

【解析】

探究一：根据角平分线的性质定理解答；

探究二：作于，作交的延长线于，证明，根据全等三角形的性质证明结论；

[理论] 根据探究结果得到答案；

[拓展]在上取一点，使，作角的延长线于，于，证明，得到，根据等腰三角形的性质得到，等量代换得到，结合图形证明结论．

解：探究一：平分，，，

，

理由是：角平分线上的点到角的两边的距离相等，

故答案为：角平分线上的点到角的两边的距离相等；

探究二：作于，作交的延长线于，

平分，，，

，

，，

，

在和中，

，

；

[理论] 综上所述，点是的角平分线上一点，连接，，若与互补，则线段与的数量关系是，

故答案为：；

[拓展] 在上取一点，使，作角的延长线于，于，

．

平分，，，

，

，，

，，

，

，

，

．

在和中，

，

，

，

，

，

，

，

．

，

．