Question

【题目】探索与计算：

在△ABC中，BE⊥AC于点E，CD⊥AB于点D，连接DE．

（1）如图1，若∠A=45°，AB=AC，BC=4，求DE的长．

（2）如图2，若∠A=60°，AB与AC不相等，BC=4，求DE的长．

猜想与证明：

（3）根据（1）（2）所求出的结果，猜想DE、BC以及∠A之间的数量关系，并证明．

拓展与应用：

（4）如图3，在△ABC中，AB=BC=5，AC=2，BE⊥AC于点E，CD⊥AB于点D，AF⊥BC于点F，求△DEF的周长．

Answer 1

【答案】(1) DE=2；(2) DE =2；(3) DE=BCcosA,证明见解析;(4) △DEF的周长=.

【解析】试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质得到AE=BE=AB，根据相似三角形的判定定理得到△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质计算；

（2）根据直角三角形的性质得到AE=AB，AD=AC，根据相似三角形的判定定理得到△ADE∽△ACB，根据相似三角形的性质计算；

（3）根据余弦的概念、相似三角形的判定和性质解答；

（4）根据（3）的结论、三角形的面积公式、勾股定理计算即可．

试题解析：

（1）∵BE⊥AC，∠A=45°，

∴AE=BE=AB，

同理，AD=CD=AC，

∵AB=AC，

∴AE=AD，

∴=，又∠A=∠A，

∴△ADE∽△ABC，

∴==，

∴DE=2；

（2）∵BE⊥AC，∠A=60°，

∴AE=AB，

同理，AD=AC，

∴=，又∠A=∠A，

∴△ADE∽△ACB，

∴=，

∴DE=BC=2；

（3）猜想：DE=BCcosA．

证明：∵BE⊥AC，

∴cosA=，

∴AE=ABcosA，

同理，AD=ACcosA，

∴∴△ADE∽△ACB，

∴=cosA，

∴DE=BCcosA；

（4）∵AB=BC=5，AC=2，BE⊥AC，

∴AE=EC=，

由勾股定理得，BE==2，

∵BC×AF=AC×BE，

∴AF=4，

由勾股定理得，BF=3，

∴cos∠ABC==，cos∠ACB=cos∠BAC=，

∴EF=DE=ABcos∠ACB=，DF=ACcos∠ABC=，

∴△DEF的周长=DE+EF+DF=．