Question

【题目】（8分）已知AB是⊙O的直径，C是圆周上的动点，P是优弧中点．

（1）求证：OP∥BC．

（2）连接PC交直径AB于点D，当OC=DC时，求∠A的度数．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】试题分析：（1）连接AC，延长PO交AC于H，根据垂径定理OH ,∠ACB=90°，所以OP∥BC得证.

(2) 设∠OPC=x,利用圆中两条半径特有的等腰三角形，同弧所对圆周角是圆心角的一半，用x表示△COD内角和，求出x.

（1）证明：连接AC，延长PO交AC于H，如图1，

∵P是优弧的中点， ∴PH⊥AC，

∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°，

∴BC⊥AC， ∴OP∥BC；

（2）连接AC，延长PO交AC于H，如图2，

∵P是优弧的中点， ∴PA=PC， ∴∠PAC=∠PCA，

∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA， ∴∠PAO=PCO，

当CO=CD时，设∠DCO=x，

则∠OPC=x，∠PAO=x， ∴∠PDO=2x，

∴∠ODC=∠POD+∠OPC=3x，

∵CD=CO， ∴∠DOC=∠ODC=3x．

在△POC中，x+x+5x=180°，

解得x=，即∠PAO=，∴∠A的度数为．