Question

【题目】已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点M，交BC于点N，连接AN，过点C的切线交AB的延长线于点P．

（1）求证：∠BCP=∠BAN
（2）求证： ．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵AC为⊙O直径，

∴∠ANC=90°，

∴∠NAC+∠ACN=90°，

∵AB=AC，

∴∠BAN=∠CAN，

∵PC是⊙O的切线，

∴∠ACP=90°，

∴∠ACN+∠PCB=90°，

∴∠BCP=∠CAN，

∴∠BCP=∠BAN；

（2）证明：∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∵∠PBC+∠ABC=∠AMN+∠ACN=180°，

∴∠PBC=∠AMN，

由（1）知∠BCP=∠BAN，

∴△BPC∽△MNA，

∴ ．

【解析】（1）根据等边对等角得到∠BAN=∠CAN，由PC是⊙O的切线，根据切线的性质得到∠BCP=∠BAN；（2）根据两角对应相等两三角形相似，得到△BPC∽△MNA，得到比例.