Question

【题目】如图，点P为△ABC的内心，延长AP交△ABC的外接圆于D，在AC延长线上有一点E，满足AD2=ABAE．
求证：DE是⊙O的切线．

Answer 1

【答案】证明：连接DC，DO并延长交⊙O于F，连接AF．

∵P点为△ABC的内心，

∴∠BAD=∠DAE，

又∵AD2=ABAE，即 = ，

∴△BAD∽△DAE，

∴∠ADB=∠E．

又∵∠ADB=∠ACB，

∴∠ACB=∠E，BC∥DE，

∴∠CDE=∠BCD=∠BAD=∠DAC，

又∵∠CAF=∠CDF，

∴∠FDE=∠CDE+∠CDF=∠DAC+∠CAF=∠DAF=90°，

故DE是⊙O的切线．

【解析】连接DC、AF，连接DO并延长交圆O于点F，先证△BAD∽△DAE，得到∠ADB=∠E，再由平行线的性质可证∠FDE=90°可得.解答此题的关键是作出辅助线，证出△BAD∽△DAE.