Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线AB交x轴于点A（5，0），交y轴于点B，AO是⊙M的直径，其半圆交AB于点C，且AC=3．取BO的中点D，连接CD、MD和OC．

（1）求证：CD是⊙M的切线；
（2）二次函数的图象经过点D、M、A，其对称轴上有一动点P，连接PD、PM，求△PDM的周长最小时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，当△PDM的周长最小时，抛物线上是否存在点Q，使S△QAM= S△PDM？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接CM，

∵AO是直径，M是圆心，

∴CM=OM，∠ACO=90°，

∴∠MOC=∠MCO．

∵D为OB的中点，

∴CD=OD，

∴∠DOC=∠DCO．

∵∠DOC+∠MOC=90°，

∴∠DCO+∠MCO=90°，

即∠MCD=90°，

∴CD是⊙M的切线

（2）解：方法一：

∵∠ACO=∠AOB=90°，∠OAB=∠OAB，

∴△ACO∽△AOB，

∴ ，

∴ ，

∴AB= ．

在Rt△AOB中，由勾股定理，得

BO= ，

∵D为OB的中点，

∴OD= OB= ，

∴D（0， ）．

∵OM=AM= OA= ，

∴M（ ，0）．设抛物线的解析式为y=a（x﹣ ）（x﹣5），由题意，得

=a（0﹣ ）（0﹣5），

解得：a= ，

∴抛物线的解析式为：y= （x﹣ ）（x﹣5），

= （x﹣ ）2﹣ ．

连接AD交对称轴于P，设直线AD的解析式为y=kx+b，由题意，得

，

解得： ，

∴直线AD的解析式为：y=﹣ x+ ，

当x= 时，

y= ，

∴P（ ， ）；

方法二：

∵OA=5，AC=3，∠ACO=90°，

∴OC=4，tan∠CAO= ，

∴OB= ，

∵D为BO的中点，

∴D（0， ），M（ ，0），A（5，0），

∴设抛物线的解析式为：y=a（x﹣ ）（x﹣5），

把D（0， ）代入得a= ，

∴抛物线的解析式为：y= （x﹣ ）2﹣ ，

∵P为对称轴上一点，

∴PM=PA，

∴△PDM的周长最小时，D，P，A三点共线，

∵D（0， ），A（5，0），

∴lAD：y=﹣ x+ ，

当x= 时，y= ，

∴P（ ， ）．

（3）解：存在．

∵S△PDM=S△ADM﹣S△APM，

∴S△PDM= × × ﹣ × × ，

= ，

∴S△QAM= = ．

设Q的纵坐标为m，由题意，得

，

∴|m|= ，

∴m=± ，

当m= 时，

= （x﹣ ）2﹣ ．

x1= ，x2= ，

当m=﹣ 时，

﹣ = （x﹣ ）2﹣ ．

x= ．

∴Q（ ， ），（ ， ），（ ，﹣ ）．

【解析】本题是一道二次函数与几何的综合题.解答此题的关键是求出抛物线的解析式.
（1）连接CM，由题意易得CM=OM，从而得到∠MOC=∠MCO，由OA为直径，根据圆周角的推论可得∠ACO=90°，易证CD=OD，∠DOC=∠DCO，由∠DOC+∠MOC=90°就可得∠DCO+∠MCO=90°，从而可得结论；
（2）根据已知条件可得△ACO∽△AOB求得AC：AO=AO：AB，从而求出AB，在Rt△AOB中由勾股定理求出OB的长，根据D是OB的中点可求得D的坐标，由待定系数法就可求得抛物线的解析式，从而求出其对称轴，连接AD交对称轴于P，先求出AD的解析式就可得点P的坐标；
（3）根据S△PDM=S△ADM-S△APM，可求得△PDM的面积，从而表示出△QAM面积的大小，设Q的纵坐标为m，根据三角形的面积可求出Q的横坐标，即可得
【考点精析】掌握圆周角定理和切线的判定定理是解答本题的根本，需要知道顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．