Question

【题目】感知：如图（1），已知正方形ABCD和等腰直角△EBF，点E在正方形BC边上，点F在AB边的延长线上，∠EBF=90°，连结AE、CF．

易证：∠AEB=∠CFB（不需要证明）．

探究：如图（2），已知正方形ABCD和等腰直角△EBF，点E在正方形ABCD内部，点F在正方形ABCD外部，∠EBF=90°，连结AE、CF．

求证：∠AEB=∠CFB

应用：如图（3），在（2）的条件下，当A、E、F三点共线时，连结CE，若AE=1，EF=2，则CE=______．

Answer 1

【答案】感知：见解析；探究：见解析；应用： ．

【解析】

感知：先判断出∠ABC=∠CBF=90°，AB=BC，进而判断出BE=BF，得出△ABE≌△CBF（SAS）即可得出结论；

探究：先判断出∠ABE=∠CBF，进而得出△ABE≌△CBF（SAS），即可得出结论；

应用：先求出CF=1，再判断出∠CFE=90°，利用勾股定理即可得出结论．

解：感知：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABC=∠CBF=90°，AB=BC，

∵△BEF是等腰直角三角形，

∴BE=BF，

∴△ABE≌△CBF（SAS），

∴∠AEB=∠CFB；

探究：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠ABC=90°，

∵△BEF是等腰直角三角形，

∴BE=BF，∠EBF=90°=∠ABC，

∴∠ABE=∠CBF，

∴△ABE≌△CBF（SAS），

∴∠AEB=∠CFB；

应用：由（2）知，△ABE≌△CBF，∠BFC=∠BEA，

∴CF=AE=1，

∵△BEF是等腰直角三角形，

∴∠BFE=∠BEF=45°，

∴∠AEB=135°，

∴∠BFC=135°，

∴∠CFE=∠BFC-∠BFE=90°，

在Rt△CFE中，CF=1，EF=2，根据勾股定理得， ，

故答案为：．