Question

【题目】如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E、H分别在AB、AC上，已知BC=40cm，AD=30cm．

（1）求证：△AEH∽△ABC；
（2）求这个正方形的边长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四边形EFGH是正方形，

∴EH∥BC，

∴∠AEH＝∠B，∠AHE＝∠C，

∴△AEH∽△ABC；

（2）证明：∵∠EFD＝∠FEM＝∠FDM＝90°，

∴四边形EFDM是矩形，

∴EF＝DM.设正方形EFGH的边长为xcm，

∵△AEH∽△ABC，∴ ，∴ ，解得x＝ .

∴正方形EFGH的边长为 cm，面积为 cm2.

【解析】（1）由正方形的性质证得EH∥BC，根据平行线的性质证得两组对应角相等，即可得出结论。
（2）先证明四边形EFDM是矩形，得出EF＝DM，因此设正方形的边长，就可表示出AM的长，再根据相似三角形的性质：相似三角形的对应边上的高之比等于相似比，建立方程，即可求出结果。