Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，EC平分∠BED．

（1）试判断△BEC是否为等腰三角形，请说明理由？
（2）若AB=1，∠ABE=45°，求BC的长；
（3）在原图中画△FCE，使它与△BEC关于CE的中点O成中心对称，此时四边形BCFE是什么特殊平行四边形，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：△BEC是否为等腰三角形，理由如下：

∵AD∥BC，

∴∠DEC=∠BCE，

∵∠DEC=∠BEC，

∴∠BEC=∠BCE，

∴△BCE是等腰三角形

（2）

解：

∵在Rt△ABE中，∠ABE=45°，

∴∠AEB=∠ABE=45°，

∴AB=AE=1．

∴BE=，

∴BC=．

（3）

解：四边形BCFE是菱形，理由如下：

如图，∵△FCE与△BEC关于CE的中点O成中心对称，

∴OB=OF，OE=OC，

∴四边形BCFE是平行四边形，

又∵BC=BE，

∴四边形BCFE是菱形．

【解析】（1）易证∠BEC=∠BCE，从而判定△BCE是等腰三角形．
（2）由（1）知BC=BE，而BC是等腰直角△ABE的斜边，AB=BE，运用勾股定理可求．
（3）根据中心对称的性质，可知四边形BCFE是平行四边形，又BC=BE，得出BCFE是菱形．
【考点精析】解答此题的关键在于理解中心对称及中心对称图形的相关知识，掌握如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与另一个图形重合，那么我们就说，这两个图形成中心对称；如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与自身重合，那么我们就说，这个图形成中心对称图形．