Question

【题目】如图1，和都是等边三角形

（1）求证：四边形是菱形

（2）给方向将平移到的位置如图2，此时，四边形（如图3）是平行四边形吗？

（3）若按（2）题的方式继续平移到，当在什么位置时，四边形是矩形，请画出的位置（如图4），并证明你的结论

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）是平行四边形；（3）四边形ABD2C2是矩形，证明和图见解析

【解析】

（1）根据△ABC和△DBC都是等边三角形，得AB=BC=CD=DA，从而证明是菱形；

（2）根据平移知△B1C1D1≌△BCD，再证AB//C1D1，从而证明是平行四边形；

（3）先证B、C、C2三点共线和A、C、D2三点共线，从而证明AD2=BC2且相互平分即可证明是矩形.

证明：（1）∵△ABC和△DBC都是等边三角形，

∴AB=BC=CA，BD=BC=CD，

∴AB=BC=CD=DA，

∴四边形ABDC是菱形；

（2）是平行四边形，证明如下：

∵△B1C1D1是△BCD沿BC方向平移的，

∴△B1C1D1≌△BCD，

∵∠ABC1=∠B1C1D1=60，

∴AB//C1D1，

∵AB=C1D1，

∴四边形AB D1C1是平行四边形；

（3）如图，当C点与B2重合时，四边形ABD2C2是矩形，证明如下：

∵△B2D2C2是沿着BC方向平移，

∴B、C、C2三点共线，

∴∠BCC2=180 ，

∴∠DCD2=180-∠BCD-∠C2CD2=60，

∴∠ACD2=∠ACB+∠BCD+∠DCD2=180，

∴A、C、D2三点共线，

∴AD2=AC+CD2，BC2=BC+CC2，

∵AC=CD2=BC=CC2，

∴AD2=BC2且相互平分，

∴四边形ABD2C2是矩形.