Question

【题目】在四边形ABCD中，AB∥DC，AB=AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE∥DB交AB的延长线于点E，连接OE．

（1）求证：四边形ABCD是菱形；

（2）若∠DAB=60°，且AB=4，求OE的长．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)2.

【解析】

（1）根据平行四边形的判定和菱形的判定证明即可；

（2）根据菱形的性质和勾股定理解答即可．

(1)∵AB∥DC，

∴∠CAB＝∠ACD．

∵AC平分∠BAD，

∴∠CAB＝∠CAD．

∴∠CAD＝∠ACD，

∴DA＝DC．

∵AB＝AD，

∴AB＝DC．

∴四边形ABCD是平行四边形．

∵AB＝AD，

∴四边形 ABCD是菱形；

(2)∵四边形 ABCD是菱形，∠DAB＝60°，

∴∠OAB＝30，∠AOB＝90°．

∵AB＝4，

∴OB＝2，AO＝OC＝2．

∵CE∥DB，

∴四边形 DBEC是平行四边形．

∴CE＝DB＝4，∠ACE＝90°．

∴.