Question

【题目】如图，已知同一平面内，∠AOB=90゜，∠AOC=60゜．

（1）填空：∠COB=；
（2）如OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，直接写出∠DOE的度数为；
（3）试问在（2）的条件下，如果将题目中∠AOC=60゜改成∠AOC=2α（α＜45゜），其他条件不变，你能求出∠DOE的度数吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：分为两种情况：：①如图1,当射线OC在∠AOB内部时,∠COB=∠AOB﹣∠AOC=90°﹣60°=30°；②如图2,当射线OC在∠AOB外部时,∠COB=∠AOB+∠AOC=90°+60°=150°；故答案为：150°或30°
（2）解：（ 2 ）在图3中,∵∠AOB=90°,∠AOC=60°,OD平分∠BOC,OE平分∠AOC,∴∠DOC= ∠BOC= ×30°=15°,∠COE= ∠AOC= ×60°=30°, ∴∠DOE=∠COD+∠COE=15°+30°=45°；在图4中,∵∠AOB=90°,∠AOC=60°,OD平分∠BOC,OE平分∠AOC,∴∠DOC= ∠BOC= ×（90°+60°）=75°,∠COE= ∠AOC= ×60°=30°,∴∠DOE=∠COD﹣∠COE=75°﹣30°=45°；故答案为：45°．
（3）解：能求出∠DOE的度数．

①当OC在∠AOB内部时，如图3，

∵∠AOB=90°，∠AOC=2α°，

∴∠BOC=∠AOB﹣∠AOC=90°﹣2α°，

∵OD、OE分别平分∠BOC，∠AOC，

∴∠DOC= ∠BOC=45°﹣α°，∠COE= ∠AOC=α°，

∴∠DOE=∠DOC+∠COE=（45°﹣α°）+α°=45°；

②当OC在∠AOB外部时，如图4，

∵∠AOB=90，∠AOC=2α°，

∴∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°+2α°，

∵OD、OE分别平分∠BOC，∠AOC，

∴∠DOC= ∠BOC=45°+α°，∠COE= ∠AOC=α°，

∴∠DOE=∠DOC﹣∠COE=（45°+α°）﹣α°=45°；

综合上述，∠DOE=45°

【解析】（1）根据题意分两种情况画出图形：当①如图1，当射线OC在∠AOB内部时，②如图2，当射线OC在∠AOB外部时，分别求出∠BOC的度数。

（2）根据题意分两种情况画出图形：根据已知条件OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，分别求出∠DOC，∠COE的度数，然后根据∠DOE=∠COD+∠COE或∠DOE=∠COD﹣∠COE，即可求解。
（3）根据题意分两种情况画出图形：①当OC在∠AOB内部时，如图3，②当OC在∠AOB外部时，如图4，先根据角平分线的定义用含α°的代数式分别表示出∠DOC，∠COE的度数，再根据∠DOE=∠DOC+∠COE和∠DOE=∠DOC﹣∠COE，即可求出结果。