Question

【题目】如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝12cm，∠B＝90°．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P,Q分别从A,B同时出发，设移动时间为t（s）．

（1）当t=2时，求△PBQ的面积；
（2）当 为多少时，四边形APQC的面积最小？最小面积是多少？
（3）当 为多少时，△PQB与△ABC相似．

Answer 1

【答案】
（1）解：当t=2时，AP=2，BQ=4，PB=4，
∴ = （cm2）

（2）解：∵AP= ，BQ=2t，PB=6-t，
∴ =

= ，
∴当t=3时， 有最小值27cm2

（3）解：∵△PQB、△ABC是直角三角形，
∴由 ，即 ，
解得t=3，
由 ，即 ，
解得t=1.2，
∴当t=1.2或t=3时，△PQB与△ABC相似

【解析】（1）当t=2时，分别根据点P、点Q的运动速度和运动方向求出BP、BQ的长，再根据三角形的面积公式即可求出结果。
（2）先分别用含t的代数式表示出AP、BQ、BP的长，再根据四边形APQC的面积=△ABC的面积-△PBQ的面积，建立函数关系式，然后将此函数解析式化成顶点式，即可求出四边形APQC的面积最小最小值及此时t的值。
（3）分两种情况讨论：当∠A=∠QPB时；当∠A=∠PQB时，根据相似三角形的对应边成比例，建立关于t的方程，解方程求解即可。