Question

【题目】已知，AD是△ABC的中线，将BC边所在直线绕点D顺时针旋转角，交边AB于点M，交射线AC于点N，设AM=xAB，AN=yAC(x,y≠0).

（1）如图1，当△为等边三角形且°时，证明：△AMN∽△DMA；

（2）如图2，证明： ；

（3）如图3，当G是AD上任意一点时（点G不与A重合），过点G的直线交边AB于点 ，交射线AC于点，设AG=nAD， ，猜想： 是否成立？并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）猜想成立，理由见解析.

【解析】试题分析：（1）利用“两角法”证得两个三角形相似；

（2）如图1，过点C作CF∥AB交MN于点F，构建相似三角形：△CFN∽△AMN，利用该相似三角形的对应边成比例求得．通过证△CFD≌△BMD得到BM=CF，利用比例的性质和相关线段的代入得到，即；

（3）猜想： += 成立．需要分类讨论：①如图乙，过D作MN∥M'N'交AB于M，交AC的延长线于N．由平行线截线段成比例得到，易求，利用（2）的结果可以求得；

②如图丙，当过点D作M1N1∥M'N'交AB的延长线于M1，交AC1于N1，则同理可得．

试题解析：解：（1）证明：如图1．在△AMD中，∵AD是△ABC的中线，△ABC为等边三角形，∴AD⊥BC，∠MAD=30°．又∵α=∠BDM=30°，∴∠MDA=60°，∴∠AMD=90°．在△AMN中，∠AMN=90°，∠MAN=60°，∴∠AMN=∠DMA=90°，∠MAN=∠MDA，∴△AMN∽△DMA；

（2）证明：如图甲，过点C作CF∥AB交MN于点F，则△CFN∽△AMN，∴．

∵CF∥BM，∴∠B=∠DCF．在△CFD和△BMD中， ，∴△CFD≌△BMD，∴BM=CF，∴，∴，即；

（3）猜想： += 成立．理由如下：

①如图乙，过D作MN∥M'N'交AB于M，交AC的延长线于N，则，∴，即，由（2）知，∴；

②如图丙，当过点D作M1N1∥M'N'交AB的延长线于M1，交AC1于N1，则同理可得．