Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，点F在边BC上，连接BE、DF，DF交对角线AC于点G，且DE=DG．
（1）求证：AE=CG；
（2）试判断BE和DF的位置关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：在正方形ABCD中，

∵AD=CD，

∴∠DAE=∠DCG，

∵DE=DG，

∴∠DEG=∠DGE，

∴∠AED=∠CGD．

在△AED和△CGD中，

∴△AED≌△CGD（AAS），

∴AE=CG

（2）解：解法一：BE∥DF，理由如下：

在正方形ABCD中，AB∥CD，

∴∠BAE=∠DCG．

在△AEB和△CGD中，

∴△AEB≌△CGD（SAS），

∴∠AEB=∠CGD．

∵∠CGD=∠EGF，

∴∠AEB=∠EGF，

∴BE∥DF．

解法二：BE∥DF，理由如下：

在正方形ABCD中，

∵AD∥FC，

∴ = ．

∵CG=AE，

∴AG=CE．

又∵在正方形ABCD中，AD=CB，

∴ = ．

又∵∠GCF=∠ECB，

∴△CGF∽△CEB，

∴∠CGF=∠CEB，

∴BE∥DF

【解析】（1）先证∠AED=∠CGD，再证明△ADE≌△CDG，根据全等三角形的对应边相等即可得出结论；（2）先证明△AEB≌△CGD，得出对应角相等∠AEB=∠CGD，得出∠AEB=∠EGF，即可证出平行线．
【考点精析】本题主要考查了正方形的性质和相似三角形的判定与性质的相关知识点，需要掌握正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方才能正确解答此题．