Question

【题目】数学课上，李老师出示了如下框中的题目．

小明与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：

（1）特殊情况，探索结论

当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE______DB（填“＞”，“＜”或“=”）．

（2）一般情况，证明结论：

如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你继续完成对以上问题（1）中所填写结论的证明）

（3）拓展结论，设计新题：

在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC． 若△ABC的边长为1，AE=2，则CD的长为_______（请直接写出结果）．

Answer 1

【答案】（1）=；（2）=；（3）1或3．

【解析】

（1）当E为中点时，过E作EF∥BC交AC于点F，则可证明△BDE≌△FEC，可得到AE=DB；

（2）类似（1）过E作EF∥BC交AC于点F，可利用AAS证明△BDE≌△FEC，可得BD=EF，再证明△AEF是等边三角形，可得到AE=EF，可得AE=DB；

（3）分为四种情况：画出图形，根据等边三角形性质求出符合条件的CD即可．

解：（1）如图1，过点E作EF∥BC，交AC于点F，

∵△ABC为等边三角形，

∴∠AFE=∠ACB=∠ABC=60°，△AEF为等边三角形，

∴∠EFC=∠EBD=120°，EF=AE，

∵ED=EC，

∴∠EDB=∠ECB，∠ECB=∠FEC，

∴∠EDB=∠FEC，

在△BDE和△FEC中，

∴△BDE≌△FEC（AAS），

∴BD=EF，

∴AE=BD，

故答案为：=；

（2）如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，

∵△ABC为等边三角形，

∴∠AFE=∠ACB=∠ABC=60°，△AEF为等边三角形，

∴∠EFC=∠EBD=120°，EF=AE，

∵ED=EC，

∴∠EDB=∠ECB，∠ECB=∠FEC，

∴∠EDB=∠FEC，

在△BDE和△FEC中

∴△BDE≌△FEC（AAS），

∴BD=EF，

∴AE=BD．

（3）解：分为四种情况：

如图3，

∵AB=AC=1，AE=2，

∴B是AE的中点，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC=BC=1，△ACE是直角三角形（根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半），

∴∠ACE=90°，∠AEC=30°，

∴∠D=∠ECB=∠BEC=30°，∠DBE=∠ABC=60°，

∴∠DEB=180°﹣30°﹣60°=90°，

即△DEB是直角三角形．

∴BD=2BE=2（30°所对的直角边等于斜边的一半），

即CD=1+2=3．

如图4，

过A作AN⊥BC于N，过E作EM⊥CD于M，

∵等边三角形ABC，EC=ED，

∴BN=CN=BC=，CM=MD=CD，AN∥EM，

∴△BAN∽△BEM，

∴，

∵△ABC边长是1，AE=2，

∴，

∴MN=1，

∴CM=MN﹣CN=1﹣=，

∴CD=2CM=1；

如图5，

∵∠ECD＞∠EBC（∠EBC=120°），而∠ECD不能大于120°，否则△EDC不符合三角形内角和定理，

∴此时不存在EC=ED；

如图6，

∵∠EDC＜∠ABC，∠ECB＞∠ACB，

又∵∠ABC=∠ACB=60°，

∴∠ECD＞∠EDC，

即此时ED≠EC，

∴此时情况不存在，

答：CD的长是3或1．

故答案为：1或3．