Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+8交x轴于点A，交y轴于点B，点C在AB上，AC＝5，CD∥OA，CD交y轴于点D．

（1）求点D的坐标；

（2）点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，同时点Q从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿AB匀速运动，设点P运动的时间为t秒（0＜t＜3），△PCQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式；

（3）在（2）的条件下，过点Q作RQ⊥AB交y轴于点R，连接AD，点E为AD中点，连接OE，求t为何值时，直线PR与x轴相交所成的锐角与∠OED互余．

Answer 1

【答案】（1）D（0，4）；（2）S=t2﹣6t+12；（3）t＝或

【解析】

（1）首先证明AC=BC，利用平行线等分线段定理推出OD=BD=4即可解决问题．
（2）如图2，作PF⊥AB于点F，求出PF，CQ即可解决问题．
（3）分两种情形：当R在y轴的负半轴上，如图3中，当R在y轴的正半轴上，如图4中，用两种方法求出OR，构建方程即可解决问题．

解：（1）如图1中，

∵直线y＝﹣x+8交x轴于点A，交y轴于点B，

∴A（6，0），B（0，8）

∴OA＝6，OB＝8，

∴AB＝＝＝10，

∵AC＝5，

∴AC＝BC＝5，

∵CD∥OA，

∴BD＝OD＝4，

∴D（0，4）．

（2）如图2，作PF⊥AB于点F，PA＝6﹣t

PF＝PAsin∠PAF＝（6﹣t），

∴CQ＝5﹣t，

S＝CQPF＝（5﹣t）（6﹣t）＝t2﹣6t+12．

（3）如图3中，作OG⊥AD 于点G，

在Rt△AOD中，AD＝＝＝2，

∵S△AOD＝ODOA＝ADOG

∴OG＝＝，

∴DG＝＝＝，

∵DE＝AE＝，

∴GE＝DE﹣DG＝﹣＝，

∵∠OED+∠OPR＝90°，∠OED+∠EOG＝90°，

∴∠OPR＝∠EOG，

∴tan∠OPR＝tan∠EOG＝

∵BR＝＝＝﹣t，

∵tan∠OPR＝＝，OP＝t，

∴OR＝t，

当R在y轴的负半轴上，如图3中，

OR＝BR﹣8＝﹣t，

∴t＝﹣t，

解得t＝，

当R在y轴的正半轴上，如图4中，

OR＝8﹣BR＝t﹣，

∴t＝t﹣，

解得t＝，

综上，当t值为或，直线PR与x轴相交所成的锐角与∠OED互余．