Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，D，E分别是边AB，AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQ⊥BC于Q，过点Q作QR∥BA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设BQ=x，QR=y．

（1）求点D到BC的距离DH的长；

（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；

（3）是否存在点P，使△PQR为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）y=-x+6（3）存在，或6或

【解析】

试题分析：（1）根据三角形相似的判定定理求出△BHD∽△BAC，根据相似三角形的性质求出DH的长；

（2）根据△RQC∽△ABC，根据三角形的相似比求出y关于x的函数关系式；

（3）画出图形，根据图形进行讨论：

①当PQ=PR时，过点P作PM⊥QR于M，则QM=RM．由于∠1+∠2=90°，∠C+∠2=90°，∴∠1=∠C．

∴cos∠1=cosC=，∴，即可求出x的值；

②当PQ=RQ时，﹣x+6=，x=6；

③当PR=QR时，则R为PQ中垂线上的点，于是点R为EC的中点，故CR=CE=AC=2．由于tanC=，x=．

试题解析：（1）在Rt△ABC中，

∵∠A=90°，AB=6，AC=8，

∴BC==10．

∵∠DHB=∠A=90°，∠B=∠B．

∴△BHD∽△BAC，

∴，

∴DH=AC=×8=

（2）∵QR∥AB，

∴∠QRC=∠A=90°．

∵∠C=∠C，

∴△RQC∽△ABC，

∴，∴，

即y关于x的函数关系式为：y=-x+6．

（3）存在，分三种情况：

①当PQ=PR时，过点P作PM⊥QR于M，则QM=RM．

∵∠1+∠2=90°，∠C+∠2=90°，

∴∠1=∠C．

∴cos∠1=cosC=，

∴，

∴，

∴x=．

②当PQ=RQ时，﹣x+6=，

∴x=6．

③作EM⊥BC，RN⊥EM，

∴EM∥PQ，

当PR=QR时，则R为PQ中垂线上的点，

∴EN=MN，

∴ER=RC，

∴点R为EC的中点，

∴CR=CE=AC=2．

∵tanC=，

∴，

∴x=．

综上所述，当x为或6或时，△PQR为等腰三角形．