Question

【题目】如图，已知以Rt△ABC的边AB为直径作△ABC的外接圆⊙O，∠B的平分线BE交AC于D，交⊙O于E，过E作EF∥AC交BA的延长线于F．

（1）求证：EF是⊙O切线；

（2）若AB=15，EF=10，求AE的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）AE=3．

【解析】分析: （1）要证EF是⊙O的切线，只要连接OE，再证∠FEO＝90°即可；

（2）证明△FEA∽△FBA，得出AE，BF的比例关系式，勾股定理得出AE，BF的关系式，求出AE的长．

详解:

（1）证明：连接OE，

∵∠B的平分线BE交AC于D，

∴∠CBE=∠ABE．

∵EF∥AC，

∴∠CAE=∠FEA．

∵∠OBE=∠OEB，∠CBE=∠CAE，

∴∠FEA=∠OEB．

∵∠AEB=90°，

∴∠FEO=90°．

∴EF是⊙O切线．

（2）解：∵AFFB=EFEF，

∴AF×（AF+15）=10×10．

∴AF=5．

∴FB=20．

∵∠F=∠F，∠FEA=∠FBE，

∴△FEA∽△FBE．

∴EF=10

∵AE2+BE2=15×15．

∴AE=3．

点睛: 本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．