Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点O关于直线CD的对称点为E，连接DE，CE．

（1）求证：四边形ODEC为菱形；

（2）连接OE，若BC＝2，求OE的长．

Answer 1

【答案】(1)详见解析;(2)

【解析】

（1）利用矩形性质可得OD=OC，再借助对称性可得OD=DE=EC=CO，从而证明了四边形ODEC为菱形；
（2）证明四边形OBCE为平行四边形，即可得到OE=BC=2．

（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴AC=BD，OC=AC，OB=OD=BD，

∴OD＝OC．

∵点O关于直线CD的对称点为E，

∴OD＝ED，OC＝EC．

∴OD＝DE＝EC＝CO．

∴四边形ODEC为菱形；

（2）连接OE．如图，

由（1）知四边形ODEC为菱形，

∴CE∥OD且CE＝OD．

又∵OB=OD，

∴CE∥BO且CE＝BO．

∴四边形OBCE为平行四边形．

∴．